ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ

1. ประโยคเปิด

1.1. บทนิยาม

1.1.1. ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่ประกอบด้วยตัวแปรทำให้ไม่เป็นประพจน์ และเมื่อแทนที่ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะได้ประพจน์

1.1.2. ตัวอย่าง

1.1.2.1. เขาเป็นคนดี ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา”

1.1.2.2. x > 3 ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x”

2. ตัวบ่งปริมาณ

2.1. ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

2.1.1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”

2.1.2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

3. ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

3.1. x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง

3.2. x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ

3.3. x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

3.4. x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

4. นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

4.1. ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)]

4.2. ~∃x[P(x)] สมมูลกับ ∀x[~P(x)]

4.3. ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ ∃x[P(x)]

4.4. ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ ∀x[P(x)]